【NOI2018】冒泡排序 排行榜

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题目背景

最近，小S对冒泡排序产生了浓厚的兴趣。为了问题简单，小 S 只研究对 $1$ 到 $n$ 的排列的冒泡排序。

下面是对冒泡排序的算法描述。

冒泡排序的交换次数被定义为交换过程的执行次数。可以证明交换次数的一个下界是 $\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{|i-p_i|}$，其中$p_i$ 是排列 $p$ 中第 $i$ 个位置的数字。如果你对证明感兴趣，可以看提示。

题目描述

小S开始专注于研究长度为 $n$ 的排列中，满足 交换次数$=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{|i-p_i|}$ 的排列（在后文中，为了方便，我们把所有这样的排列叫“好”的排列）。他进一步想，这样的排列到底多不多？它们分布的密不密集？

小S想要对于一个给定的长度为 $n$ 的排列 $q$，计算字典序严格大于 $q$ 的“好”的排列个数。但是他不会做，于是求助于你，希望你帮他解决这个问题，考虑到答案可能会很大，因此只需输出答案对 $998244353$ 取模的结果。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入第一行包含一个正整数 $T$，表示数据组数。

对于每组数据，第一行有一个正整数 $n$, 保证 $n \le 6 \times 10^{5}$。

接下来一行会输入 $n$ 个正整数，对应于题目描述中的 $q_i$，保证输入的是一个$1$ 到 $n$ 的排列。

输出格式

输出到标准输出。

输出共 $T$ 行，每行一个整数。

对于每组数据，输出一个整数，表示字典序严格大于 $q$ 的“好”的排列个数对 998244353 取模的结果。

样例一

输入

输出

解释

字典序比 $1~~3~~2$ 大的排列中，除了 $3~~2~~1$ 以外都是“好”的排列，故答案为 3。

样例二

输入

输出

子任务

下面是对本题每个测试点的输入规模的说明。

对于所有数据，均满足 $T = 5$ (样例可能不满足).

记 $n_{max}$ 表示每组数据中 $n$ 的最大值，$\sum{n}$ 表示所有数据的 $n$ 的和。

测试点	$n\_{max}=$	$\sum n\leq$	特殊性质
1	$8$	$5n\_{max}$	$\text{无}$
2	$9$
3	$10$
4	$12$
5	$13$
6	$14$
7	$16$
8
9	$17$
10	$18$
11
12	$122$	$700$	$\forall i ~~q_i=i$
13	$144$		$\text{无}$
14	$166$
15	$200$
16	$233$
17	$777$	$4000$	$\forall i ~~q_i=i$
18	$888$		$\text{无}$
19	$933$
20	$1000$
21	$266666$	$2000000$	$\forall i ~~q_i=i$
22	$333333$		$\text{无}$
23	$444444$
24	$555555$
25	$600000$

提示

下面是对交换次数下界是 $\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{|i-p_i|}$ 的证明。

排序本质上就是数字的移动，因此排序的交换次数应当可以用数字移动的总距离来描述。对于第 $i$ 个位置，假设在初始排列中，这个位置上的数字是 $p_i$，那么我们需要将这个数字移动到第 $p_i$ 个位置上，移动的距离是 $|i - p_i|$。从而移动的总距离就是 $\sum_{i=1}^n |i - p_i|$，而冒泡排序每次会交换两个相邻的数字，每次交换可以使移动的总距离至多减少 2。因此 $\frac{1}{2}{\sum_{i=1}^{n}{|i-p_i|}}$ 是冒泡排序的交换次数的下界。

并不是所有的排列都达到了下界，比如在 $n=3$ 的时候，考虑排列 $3 ~~ 2~~1$, 这个排列进行冒泡排序以后的交换次数是 3，但是 $\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{|i-p_i|}$ 只有 2。

题目来源

NOI 2018 Day 1

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