【NOI2018】情报中心 排行榜

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题目描述

C 国和 D 国近年来战火纷飞。

最近，C 国成功地渗透进入了 D 国的一个城市。这个城市可以抽象成一张有 $n$ 个节点，节点之间由 $n-1$ 条双向的边连接的无向图，使得任意两个点之间可以互相到达，也就是说这张无向图实际上是一棵树。

经过侦查，C 国情报部部长 GGB 惊讶地发现，这座看起来不起眼的城市竟然是 D 国的军事中心。因此 GGB 决定在这个城市内设立情报机构。情报专家 TAC 在侦查后，安排了 $m$ 种设立情报机构的方案。这些方案中，第 $i$ 种方案是在节点 $x_i$ 到节点 $y_i$ 的最短路径的所有边上安排情报人员收集情报，这种方案需要花费 $v_i$ 元的代价。

但是，由于人手不足，GGB 只能安排上述 $m$ 种方案中的两种进行实施。同时 TAC 指出，为了让这两个情报机构可以更好的合作，它们收集情报的范围应至少有一条公共的边。为了评估一种方案的性能，GGB 和 TAC 对所有的边进行了勘察，给每一条边制定了一个情报价值 $c_i$，表示收集这条边上的情报能够带来 $c_i$ 元的收益。注意，情报是唯一的，因此当一条边的情报被两个情报机构收集时，也同样只会有 $c_i$ 的收益。

现在，请你帮 GGB 选出两种合法的设立情报机构的方案进行实施，使得这两种方案收集情报的范围至少有一条公共的边，并且在此基础上总收益减去总代价的差最大。注意，这个值可能是负的，但仍然是合法的。如果无法找到这样的两种方案，请输出 F。

输入格式

从标准输入读入数据。

本题包含多组测试数据。

输入文件的第一行包含一个整数 $T$，表示数据组数；

每组数据包含 $(n+m+1)$ 行：

第 1 行包含一个整数 $n$，表示城市的点数；

第 $2$ 到第 $n$ 行中，第 $(i+1)$ 行包含三个整数 $a_i,b_i,c_i$，表示城市中一条连接节点 $a_i$ 和 $b_i$、情报价值为 $c_i$ 的双向边，保证 $a_i < b_i$ 且 $b_i$ 互不相同；

第 $(n+1)$ 行包含一个整数 $m$，表示 TAC 设立的 $m$ 种设立情报机构的方案；

第 $(n+2)$ 到 $(n+m+1)$ 行中，第 $(n+i+1)$ 行包含三个整数 $x_i,y_i,v_i$，表示第 $i$ 种设立情报机构的方案是在节点 $x_i$ 到节点 $y_i$ 的最短路径上的所有边上安排情报人员收集情报，并且需要花费 $v_i$ 元的代价。

输出格式

输出到标准输出。

输出文件包含 $T$ 行；

对于每组数据，输出一行：如果存在合法的方案，则输出一个整数表示最大的总收益减去总代价的差；否则输出 F。

样例输入

样例输出

样例解释

这个样例中包含两组数据。这两组数据的城市相同，只是在情报的价值和情报机构的方案上有所不同。城市地图如下：

• 图还在路上

• 对于第一组数据，方案一中的节点 $1$ 到节点 $4$ 的最短路径为 $1\to 2\to 3\to 4$，方案二中的节点 $3$ 到节点 $5$ 的最短路径为 $3\to 2\to 1\to 5$。选择这两种方案需要花费 $5+8=13$ 的代价，并且每一条边的情报都被收集从而得到 $1+3+2+8=14$ 的收益，因此总收益减去总代价为 $14-13=1$。

• 对于第二组数据，方案一中的节点 $1$ 到节点 $5$ 的最短路径为 $1\to 5$，方案二中的节点 $2$ 到节点 $3$ 的最短路径为 $2\to 3$。这两种方案收集情报的范围没有公共的边，因此非法，所以这组数据不存在合法方案，应输出 F。

子任务

各测试点的数据规模和性质如下表：

测试点	$n\le $	$m\le$	$T\le 50$	特殊性质
$1$	$2$	$3$	保证	无
$2$	$10$	$30$
$3$	$200$	$300$
$4$	$10^{3}$	$2,000$		$a_i = b_i - 1$
$5$	$10^{4}$	$3 \times 10^{4}$
$6$	$5 \times 10^{4}$	$10^{5}$
$7$	$10^{4}$	$3 \times 10^{4}$		$c_i = 0$
$8$	$5 \times 10^{4}$	$10^{5}$
$9$
$10$	$10^{4}$	$n$		$S_1$
$11$	$5 \times 10^{4}$		不保证
$12$
$13$	$10^{4}$	$3 \times 10^{4}$	保证	$S_2$
$14$
$15$	$5 \times 10^{4}$	$10^{5}$	不保证
$16$
$17$	$10^{4}$	$3 \times 10^{4}$	保证	无
$18$	$5 \times 10^{4}$	$10^{5}$
$19$			不保证
$20$

表格中的特殊性质如下：

• 特殊性质 $S_1$：对于任意 $i,j$，保证 $x_i$ 到 $y_i$ 的最短路径所经过的编号最小的节点不同于 $x_j$ 到 $y_j$ 的最短路径所经过的编号最小的节点；

• 特殊性质 $S_2$：对于任意 $i$，保证 $x_i$ 到 $y_i$ 的最短路径所经过的编号最小的节点为节点 $1$。

对于所有的数据，$1\le n\le 5 \times 10^{4}$，$0\le m\le 10^{5}$，$0\le c_i\le 10^9$，$0\le v_i\le 10^{10}\times n$。每个测试点中，所有 $n$ 的和不会超过 $1,000,233$，所有 $m$ 的和不会超过 $2,000,233$。

题目来源

NOI 2018 Day 2

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