【NOI2018】多边形 排行榜

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题目描述

久莲是一个喜欢出题的女孩子。

在今年的 World Final 结束以后，久莲特别喜欢计算几何，于是她打算在 NOI 的考场上也出一个计算几何：这是一道只有题目名字和计算几何相关的题目。

首先，久莲给出了一棵 $n(n \geq 2)$ 个节点的有根树 $T$，根节点编号为 $1$。定义叶子节点为除了根以外所有度数恰好为 $1$ 的节点。下图是一个树 $T$ 的例子，其中叶子节点集合为 ${3,4,5}$。

• 图片还在路上

接着通过这棵树，久莲构造了一个序列 $A$:

• 从根节点开始深度优先遍历整棵树，遍历时按照编号从小到大的顺序来访问孩子，这样可以得到一个树 $T$ 的 DFS 序。
• 接着按照在 DFS 序中的出现顺序从前往后，久莲把所有叶子节点排成一排得到了一个序列 $A$。

更进一步地，通过序列 $A$，久莲定义了两个叶子节点 $u,v$ 的距离 $d(u,v)$：假设 $u$ 在 $A$ 中是第 $i$ 个元素，$v$ 是第 $j$ 个元素，则 $d(u,v)=\min(|i-j|, |A|-|i-j|)$。其中 $|A|$ 为序列的长度，即 $T$ 的叶子个数，$i,j$ 指的是出现的位置，从 $1$ 开始计数。

上面的例子中，序列 $A$ 为 $[4,5,3]$，其中 $d(3,5)=d(3,4)=d(4,5)=1$，$3,4,5$ 的出现位置分别为 $3,1,2$。

最后，久莲给出了一个参数 $K$，利用这棵有根树 $T$ 和序列$A$，我们可以构造一张 $n$ 个点的无重边无自环的无向图 $G$：两个不同的点 $u,v$ 之间有边当且仅当它们满足下列条件中的至少一个：

• 在树 $T$ 中存在连接 $u,v$ 的边。
• 在树 $T$ 中 $u,v$ 都是叶子节点且 $d(u,v) \leq K$。

当 $K = 1$ 或 $2$ 时，上面的例子得到的图 $G$ 都如下图所示：

• 图片还在路上

现在久莲想让你来计算一下 $G$ 中不同的哈密尔顿回路数量有多少条，答案可能很大，请对 $998244353$ 取模后输出。

下面是一些补充定义：

• 无重边无自环的无向图 $G$ 的一条哈密尔顿回路 $H$ 是 $G$ 中边的一个子集，其中每一个点恰好有两条不同的相邻边在 $H$ 中，且任意两个点都可以通过 $H$ 中的边直接或间接到达。
• 无重边无自环的无向图 $G$ 的两条哈密尔顿回路 $H_1,H_2$ 是不同的当且仅当存在一条边 $e$ 使得 $e$ 在 $H_1$ 中且不在 $H_2$ 中。

输入格式

从标准输入读入数据。

第一行输入两个整数 $n,K$，表示树 $T$ 的点数以及久莲选定的参数 $K$。

第二行输入 $n-1$ 个整数 $f_i(1 \leq f_i \leq i)$，其中 $f_i$ 表示树 $T$ 上存在边 $(f_i,i+1)$。

输出格式

输出到标准输出。

输出一行一个整数，表示哈密尔顿回路数量对 $998244353$ 取模后的结果。

样例输入

样例输出

样例解释

该样例和题面中的例子完全相同。两条哈密尔顿回路经过节点的顺序分别为 $(1,2,4,5,3)$ 和 $(1,2,5,4,3)$。

子任务

各测试点的数据规模和性质如下表：

编号	$n$	$K$	特殊性质	编号	$n$	$K$	特殊性质
1	$\leq 5$	$\leq 3$	无	11	$\leq 1000$	$\leq 2$	A
2	$\leq 10$			12
3	$\leq 15$			13
4	$\leq 20$			14			无
5	$\leq 1000$	$=1$	A	15
6				16
7				17		$\leq 3$	A
8			无	18
9				19			无
10				20

其中性质 A 为保证树上所有节点至多有两个孩子。

对于所有的数据，保证 $1 \leq f_i \leq i, 2 \leq n \leq 1000$。

题目来源

NOI 2018 Day 2

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