【NOIP2018】填数游戏 排行榜


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问题描述

小D特别喜欢玩游戏。这一天,他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个 $n \times m$ 的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字(数字0或者数字1),填数时需要满足一些限制。

下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述,我们先给出一些定义:

例如:在下面这个矩形中,只有两条路径是合法的,它们分别是 $P_1$:$(0,0) \rightarrow (0,1) \rightarrow (1,1)$ 和 $P_2$:$(0,0) \rightarrow (1,0) \rightarrow (1,1)$。

(图片暂缺)

对于一条合法的路径 $P$,我们可以用一个字符串 $w(P)$ 来表示,该字符串的长度为 $n+m-2$,其中只包含字符“R”或者字符“D”,第 $i$ 个字符记录了路径 $P$ 中第 $i$ 步的移动方法,“R”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子,“D”表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如,上图中对于路径 $P_1$,有 $w(P_1)=$"RD";而对于另一条路径 $P_2$,有 $w(P_2)=$"DR"。

同时,将每条合法路径 $P$ 经过的每个格子上填入的数字依次连接后,会得到一个长度为 $n+m-1$ 的01字符串,记为 $s(P)$。例如,如果我们在格子 $(0,0)$ 和 $(1,0)$ 上填入数字0,在格子 $(0,1)$ 和 $(1,1)$ 上填入数字1(见上图红色数字)。那么对于路径 $P_1$,我们可以得到 $s(P_1)=$"011",对于路径 $P_2$,有 $s(P_2)=$"001"。

游戏要求小D找到一种填数字0、1的方法,使得对于两条路径 $P_1$,$P_2$,如果 $w(P_1)>w(P_2)$,那么必须 $s(P_1) < s(P_2)$。我们说字符串 $a$ 比字符串 $b$ 小,当且仅当字符串 $a$ 的字典序小于字符串 $b$ 的字典序,字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满足小D的好奇心,小D更想知道这个游戏有多少种玩法,也就是说,有多少种填数字的方法满足游戏的要求?

小D能力有限,希望你帮助他解决这个问题,即有多少种填0、1的方法能满足题目要求。由于答案可能很大,你需要输出答案对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入文件共一行,包含两个正整数 $n$、$m$,由一个空格分隔,表示矩形的大小。其中 $n$ 表示矩形表格的行数,$m$ 表示矩形表格的列数。

输出格式

输出到标准输出。

输出共一行,包含一个正整数,表示有多少种填0、1的方法能满足游戏的要求。注意:输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

样例1输入

样例1输出

样例2输入

样例2输出

样例3输入

样例3输出

数据规模与约定

测试点编号 $n \le $ $m \le $
1 ~ 4 $3$ $3$
5 ~ 10 $2$ $1000000$
11 ~ 13 $3$ $1000000$
14 ~ 16 $8$ $8$
17 ~ 20 $8$ $1000000$

题目来源

NOIP 2018 Day 2


关于标准输出的说明(最后更新:2018年10月23日)

标准输出将被重定向到内存中,所以你的内存使用量也包括了你的标准输出的大小(向上取整到 4KB 的倍数)。

如果你的程序要进行大量输出,请考虑这一点。




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Server Time: 2019-08-22 22:20:56 | Loaded in 0 ms | Server Status
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