【NOIP2018】填数游戏 排行榜

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问题描述

小D特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个 $n \times m$ 的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字（数字0或者数字1），填数时需要满足一些限制。

下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述，我们先给出一些定义：

• 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即（行坐标，列坐标）。（注意：行列坐标均从0开始编号）
• 合法路径 $P$：一条路径是合法的当且仅当：
  1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子 $(0, 0)$ 出发，到矩形的右下角格子 $(n-1,m-1)$ 结束；
  2. 在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。

例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是 $P_1$：$(0,0) \rightarrow (0,1) \rightarrow (1,1)$ 和 $P_2$：$(0,0) \rightarrow (1,0) \rightarrow (1,1)$。

（图片暂缺）

对于一条合法的路径 $P$，我们可以用一个字符串 $w(P)$ 来表示，该字符串的长度为 $n+m-2$，其中只包含字符“R”或者字符“D”，第 $i$ 个字符记录了路径 $P$ 中第 $i$ 步的移动方法，“R”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，“D”表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如，上图中对于路径 $P_1$，有 $w(P_1)=$"RD"；而对于另一条路径 $P_2$，有 $w(P_2)=$"DR"。

同时，将每条合法路径 $P$ 经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长度为 $n+m-1$ 的01字符串，记为 $s(P)$。例如，如果我们在格子 $(0,0)$ 和 $(1,0)$ 上填入数字0，在格子 $(0,1)$ 和 $(1,1)$ 上填入数字1（见上图红色数字）。那么对于路径 $P_1$，我们可以得到 $s(P_1)=$"011"，对于路径 $P_2$，有 $s(P_2)=$"001"。

游戏要求小D找到一种填数字0、1的方法，使得对于两条路径 $P_1$，$P_2$，如果 $w(P_1)>w(P_2)$，那么必须 $s(P_1) < s(P_2)$。我们说字符串 $a$ 比字符串 $b$ 小，当且仅当字符串 $a$ 的字典序小于字符串 $b$ 的字典序，字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满足小D的好奇心，小D更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字的方法满足游戏的要求？

小D能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填0、1的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入文件共一行，包含两个正整数 $n$、$m$，由一个空格分隔，表示矩形的大小。其中 $n$ 表示矩形表格的行数，$m$ 表示矩形表格的列数。

输出格式

输出到标准输出。

输出共一行，包含一个正整数，表示有多少种填0、1的方法能满足游戏的要求。注意：输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

样例1输入

样例1输出

样例2输入

样例2输出

样例3输入

样例3输出

数据规模与约定

题目来源

NOIP 2018 Day 2

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